Question

【題目】已知，正方形，

（1）如圖1，當點分別在邊，上，連接，求證：

（2）如圖2，點分別在邊，上，且，當點分別在，上，連接，請探究線段，，之間滿足的數量關系，并加以證明.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）由題意可知△ADF≌△ABG，可得到AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，通過證明G、B、E三點共線，可推出∠EAG＝∠EAF，從而證得△EAG≌△EAF，進而證得EG＝EF，把EF轉化到EG＝BG＋BE＝DF＋BE，即可得證．
（2）把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，證得△EAH≌△EAF，把EF轉化到EH，然后利用BN＝DM證明四邊形BMDN為平行四邊形，得出∠ABE＝∠FDM，從而得出∠EBH＝∠ABH＋∠ABE＝∠ADF＋∠MDN＝90°，由得到．

（1）如圖，將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得△ABG，

∴△ADF≌△ABG
∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG
∵正方形ABCD
∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD
∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直線上
∵∠EAF＝45°
∴∠DAF＋∠BAE＝90°45°＝45°
∴∠EAG＝∠BAG＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝45°
即∠EAG＝∠EAF
在△EAG與△EAF中，

∴△EAG≌△EAF（SAS）
∴EG＝EF
∵BE＋DF＝BE＋BG＝EG
∴EF＝BE＋DF
（2），證明如下：
如圖，將△ADF繞點A順時針旋轉90°，得△ABH，

∴△ADF≌△ABH
∴AF＝AH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，∠ADF＝∠ABH
∵∠EAF＝45°
∴∠DAF＋∠BAE＝90°45°＝45°
∴∠EAH＝∠BAH＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝45°
即∠EAH＝∠EAF
在△EAH與△EAF中，

∴△EAH≌△EAF（SAS）
∴EH＝EF
∵BN＝DM，BN∥DM
∴四邊形BMDN是平行四邊形
∴∠ABE＝∠MDN
∴∠EBH＝∠ABH＋∠ABE＝∠ADF＋∠MDN＝∠ADM＝90°
∴
∴