Question

【題目】如圖①，四邊形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，點E是線段AD上一動點（不與A，D重合），點F是線段AB延長線上一動點，連接CE，EF，EF交BC于點G，設AE＝x，AF＝y，已知y與x之間的函數關系如圖②所示．

（1）求圖②中y與x的函數表達式；

（2）求證：CE⊥CF；

（3）是否存在x的值，使得△CEG是等腰三角形？如果存在，求出x的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+10；（2）詳見解析；（3）x的值為或5﹣或3．

【解析】

（1）由題意可設y＝kx+b，，再用待定系數法把（2,6）與（0,10）兩點代入求解即可；

（2）用兩邊對應成比例且夾角相等證明△CDE∽△CBF，從而得∠DCE＝∠BCF，問題即得解決；

（3）①當CE＝CG時，可證△FEA≌△FEC，從而得EC＝AE，再在Rt△CDE中用勾股定理列出方程求解即可；②當EC＝EG時，在圖①中作EH⊥CG于H，由EH∥BF得，再代入相關數據求解即得；③當GE＝GC時，可證G為EF中點，則B為AF中點，問題即得解決.

解：（1）設y＝kx+b，

由圖象得：當x＝2時，y＝6，當x＝0時，y＝10，

∴，解得，

∴圖②中y與x的函數表達式是y＝﹣2x+10．

（2）∵AE＝x，BC＝4

∴DE＝4﹣x，

∵AF＝﹣2x+10，AB＝2，

∴BF＝﹣2x+8，

∴，

∵，

∴，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠DCB＝∠CBA＝∠CBF＝90°，

∴△CDE∽△CBF，

∴∠DCE＝∠BCF，

∴∠ECF＝∠DCB＝90°，

∴CE⊥CF．

（3）假設存在x的值，使得△CEG是等腰三角形．

①當CE＝CG時，則∠CEG＝∠CGE，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠CGE，

∴∠AEF＝∠CEF，

∵FE＝FE，∠A＝∠FCE＝90°，

∴△FEA≌△FEC（AAS），

∴EC＝AE＝x，

在Rt△CDE中，∵EC2＝DE2+CD2，

∴x2＝（4﹣x）2+22，

解得x＝．

②當EC＝EG時，如圖①中，作EH⊥CG于H．

∵EC＝EG，EH⊥CG，

∴CH＝HG＝DE＝4﹣x，

∴BG＝4﹣2（4﹣x）＝2x﹣4，

∵EH∥BF，

∴，

∴ ，

解得x＝5﹣或5+（舍棄）．

③當GE＝GC時，則有∠GEC＝∠GCE，

∵∠GEC+∠EFC＝90°，∠GCE+∠GCF＝90°，

∴∠GCF＝∠GFC，

∴GC＝GF，

∴GE＝GF，

∵BG∥AE，

∴AB＝BF＝2，

∴﹣2x+8＝2，

∴x＝3．

綜上所述，x的值為或5﹣或3．