Question

【題目】在△ABC中,AB=AC,點D在邊BC所在的直線上,過點D作DE∥AC交直線AB于點E,DF∥AB交直線AC于點F.

（1）當點D在邊BC上時,如圖①,求證:DE+DF=AC.
（2）當點D在邊BC的延長線上時,如圖②;當點D在邊BC的反向延長線上時,如圖③.請分別寫出圖②、圖③中DE,DF,AC之間的數量關系,不需要證明.
（3）若AC=6,DE=4,則DF=.

Answer 1

【答案】
（1）證明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴∠FDC=∠B,四邊形AEDF是平行四邊形.
∴DE=AF.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠FDC=∠C,∴DF=FC,
∴DE+DF=AF+FC=AC
（2）解:當點D在邊BC的延長線上時,DE-DF=AC;
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴∠FDC=∠B,四邊形AEDF是平行四邊形.
∴DE=AF.
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∴∠FDC=∠ACB,
∵∠DCF=∠ACB,
∴∠FDC=∠DCF
∴DF=FC,
∴AC+CF=AC+DF=AF=DE
DE-DF=AC;
同理可證當點D在邊BC的反向延長線上時,DF-DE=AC
（3）2或10
【解析】（3）根據（1）的結論DE+DF=AC
∵AC=6,DE=4
∴DF=AC-DE=6-4=2
根據圖②的結論DE-DF=AC
∴DF=DE-AC=-2，不符合題意；
根據圖③的結論DF-DE=AC
∴DF=DE+AC=4+6=10
（1）根據已知條件及平行四邊形的判定，可證明四邊形AEDF是平行四邊形，得出DE=AF，再根據等腰三角形的性質及平行線的性質證明∠FDC=∠C，得到DF=FC，然后根據DE+DF=AF+FC，即可證得結論。
（2）圖②根據已知條件及平行四邊形的判定，可證明四邊形AEDF是平行四邊形，得出DE=AF，再根據等腰三角形的性質及平行線的性質證明∠FDC=∠DCF，得到DF=FC，然后根據AC+CF=AC+DF=AF=DE，即可證得結論；同理可得出圖③的結論。
（3）利用（1）（2）（3）的結論計算即可。