Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在邊BC上，聯結AD，以AD為一邊作△ADE，滿足AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，聯結EC．

（1）求證：CA平分∠DCE；

（2）如果AB2＝BDBC，求證：四邊形ABDE是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠ACB，證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形的性質得到∠B＝∠ACE，根據角平分線的定義證明結論；

（2）根據相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA，得到∠BAD＝∠ACB，分別證明AE∥BD，AB∥DE，根據平行四邊形的判定定理證明．

（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B＝∠ACE，

∴∠ACB＝∠ACE，

∴CA平分∠DCE；

（2）證明：∵AB2＝BDBC，

∴＝，

又∠B＝∠B，

∴△ABD∽△CBA，

∴∠BAD＝∠ACB，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴∠CAE＝∠ACB，

∴AE∥BD，

∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，

∴∠ACB＝∠ADE，

∴∠BAD＝∠ADE，

∴AB∥DE，

∵AE∥BD，AB∥DE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形．