Question

如圖，△ABC內接于半圓，AB為直徑，過點A作直線MN，若∠MAC=∠ABC．

（1）求證：MN是半圓的切線．
（2）設D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F，求證：FD=FG．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析.

試題分析：（1）根據圓周角定理推論得到∠ACB=90°，即∠ABC+∠CAB=90°，而∠MAC=∠ABC，則∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，根據切線的判定即可得到結論；
（2）連AD，根據圓周角定理推論得到∠ABC=90°，由DE⊥AB得到∠DEB=90°，則∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，又D是弧AC的中點，即弧CD=弧DA，得到∠3=∠5，于是∠1=∠4，利用對頂角相等易得∠1=∠2，則有FD=FG．
試題解析：（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
而∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，
∴MN是半圓的切線；
（2）解：如圖

∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∵D是弧AC的中點，即弧CD=弧DA，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠4，
而∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG．
考點: 1.切線的判定；2.圓周角定理．