Question

問題提出

我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大小，即要比較代數式M、N的大小，只要作出它們的差M－N，若M－N＞0，則M＞N；若M－N＝0，則M＝N；若M－N＜0，則M＜N．

問題解決

如圖1，把邊長為a＋b(a≠b)的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小．

解：由圖可知：M＝a²＋b²，N＝2ab．

∴M－N＝a²＋b²－2ab＝(a－b)²．

∵a≠b，∴(a－b)²＞0．

∴M－N＞0．

∴M＞N．

類比應用

1.已知：多項式M ＝2a²－a＋1 ，N ＝a²－2a ．試比較M與N的大小．

2.已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊

滿足a ＜b ＜ c ，現將△ABC 補成長方形，使得△ABC的兩個頂

點為長方形的兩個端點，第三個頂點落在長方形的這一邊的對邊上。                     

      ①這樣的長方形可以畫        個；

②所畫的長方形中哪個周長最小？為什么？

拓展延伸                                                                                                                               

     已知：如圖，銳角△ABC (其中BC為a，AC為b，AB為c)三邊滿足a ＜b ＜ c ，畫其BC邊上的內接正方形EFGH , 使E、F兩點在邊BC上，G、H分別在邊AC、AB上，同樣還可畫AC、AB邊上的內接正方形，問哪條邊上的內接正方形面積最大？為什么？

 

 

Answer 1

【答案】

 

1.M>N

2.①3個  ②以最短邊a為邊畫的長方形周長最小

       拓展延伸：邊上的內接正方形面積最大

【解析】

（1）M-N==

∴M>N                                3分

(2) ① 3                           4分

②以最短邊a為邊畫的長方形周長最小.                         5分

理由：設ΔABC的面積為S，三個長方形的周長分別為、、．

易得三個長方形的面積相等，均為2S．

=，=，=

－=

∵（）

∴

∴

∵，

∴，

∴

∴<

同理<

∴<<                         8分

拓展延伸：

邊上的內接正方形面積最大                         9分

理由: 設邊上的內接正方形邊長為x，

由ΔAHG∽ΔABC,得

解得x=

由上題得，最小，且(定值)，

∴x為最大

∴邊上的內接正方形面積最大                         12分