Question

問題提出
我們在分析解決某些數學問題時，經常要比較兩個數或代數式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定它們的大小，即要比較代數式M、N的大小，只要作出它們的差M-N，若M-N＞0，則M＞N；若M-N=0，則M=N；若M-N＜0，則M＜N．
問題解決
如圖1，把邊長為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個邊長分別是a、b的小正方形及兩個矩形，試比較兩個小正方形面積之和M與兩個矩形面積之和N的大小．
解：由圖可知：M=a²+b²，N=2ab．
∴M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²．
∵a≠b，∴（a-b）²＞0．
∴M-N＞0．
∴M＞N．
類比應用
（1）已知小麗和小穎購買同一種商品的平均價格分別為

a+b

2

元/千克和

2ab

a+b

元/千克（a、b是正數，且a≠b），試比較小麗和小穎所購買商品的平均價格的高低．
（2）試比較圖2和圖3中兩個矩形周長M₁、N₁的大小（b＞c）．

聯系拓廣
小剛在超市里買了一些物品，用一個長方體的箱子“打包”，這個箱子的尺寸如圖4所示（其中b＞a＞c＞0），售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進行捆綁，問哪種方法用繩最短？哪種方法用繩最長？請說明理由．

Answer 1

分析：類比應用（1）首先得出

a+b

2

-

2ab

a+b

=

(a+b) 2-4ab

2(a+b)

=

(a-b) 2

2(a+b)

，進而比較得出大小關系；
（2）由圖形表示出M₁=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N₁=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，利用兩者之差求出即可．
聯系拓廣：分別表示出圖5的捆綁繩長為L₁，則L₁=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，圖6的捆綁繩長為L₂，則L₂=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，圖7的捆綁繩長為L₃，則L₃=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，進而表示出它們之間的差，即可得出大小關系．

解答：解：類比應用
（1）

a+b

2

-

2ab

a+b

=

(a+b) 2-4ab

2(a+b)

=

(a-b) 2

2(a+b)

，
∵a、b是正數，且a≠b，
∴

(a-b) 2

2(a+b)

＞0，
∴

a+b

2

＞

2ab

a+b

，
∴小麗所購買商品的平均價格比小穎的高；

（2）由圖知，M₁=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，
N₁=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，
M₁-N₁=2a+4b+2c-（2a+2b+4c）=2（b-c），
∵b＞c，
∴2（b-c）＞0，即：M₁-N₁＞0，
∴M₁＞N₁，
∴第一個矩形大于第二個矩形的周長．
聯系拓廣
設圖5的捆綁繩長為L₁，則L₁=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，
設圖6的捆綁繩長為L₂，則L₂=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，
設圖7的捆綁繩長為L₃，則L₃=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，
∵L₁-L₂=4a+4b+8c-（4a+4b+4c）=4c＞0，
∴L₁＞L₂，
∵L₃-L₂=6a+4b+6c-（4a+4b+4c）=2a+2c＞0，
∴L₃-L₁=6a+4b+6c-（4a+4b+8c）=2（a-c），
∵a＞c，
∴2（a-c）＞0，
∴L₃＞L₁．
∴第二種方法用繩最短，第三種方法用繩最長．

點評：此題主要考查了整式的混合運算以及不等式的性質，根據已知表示出繩長再利用繩長之差比較是解決問題的關鍵．