Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，動點P在射線CB上（與B、C不重合），連結AP，過D作DF∥AP交直線BC于點F，過F作FE⊥直線BD于點E，連結AE、PE．

（1）如圖，當點P在線段CB上時

①求證：△ABP≌△DCF；

②點P在運動過程中，探究：△AEP的形狀是否發生變化，若不變，請判斷△AEP的形狀，并說明理由；

（2）如圖，當點P在CB的延長線上時,若正方形ABCD的邊長為1，設BP＝x，當x為何值時，DF平分∠BDC？

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②△AEP的形狀不發生變化，△AEP是等腰直角三角形，理由見解析；（2）當x＝﹣1時，DF平分∠BDC．

【解析】

（1）①根據AAS即可證明△ABP≌△DCF；②連結CE，先證△ABE≌△CBE，證得EB＝EF，∠EBF＝∠EFB＝45°，再證得△EBP≌△EFC，得出AE＝EP∠AEB+∠BEP＝∠BEC+∠CEF＝90°，即可得出△AEP是等腰直角三角形；（2）若DF平分∠BDC，

則EF＝CF，故CF＝BP＝x，BF＝1﹣x，由△BEF是等腰直角三角形得BF＝EF，即1﹣x＝x，解得x＝﹣1，則可求解.

(1)①證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCF＝90°，

∵DF∥AP， ∴∠APB＝∠DFC，

在△ABP和△DCF中，

，

∴△ABP≌△DCF；

②△AEP的形狀不發生變化，△AEP是等腰直角三角形，

理由：連結CE，

在△ABE和△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE＝CE，∠AEB＝∠CEB，

∵FE⊥BD，∠EBF＝45°，

∴EB＝EF，∠EBF＝∠EFB＝45°

∵△ABP≌△DCF，

∴BP＝FC，

∴△EBP≌△EFC，

∴EP＝EC，∠BEP＝∠FEC，

∴AE＝EP，

∠AEB+∠BEP＝∠BEC+∠CEF＝90°，

∴△AEP是等腰直角三角形；

（2）若DF平分∠BDC，

則EF＝CF，

∵CF＝BP＝x，

∴BF＝1﹣x，

∵△BEF是等腰直角三角形

∴BF＝EF，

∴1﹣x＝x，

解得x＝﹣1，

∴當x＝﹣1時，DF平分∠BDC．