Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的頂點在⊙O上，BD是⊙O的直徑，延長CD、BA 交于點E，連接AC、BD交于點F，作AH⊥CE，垂足為點H，已知∠ADE=∠ACB．

（1）求證：AH是⊙O的切線；

（2）若OB=4，AC=6，求sin∠ACB的值；

（3）若，求證：CD=DH．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】分析：(1)、連接OA，根據圓周角定理得出∠ADE=∠ADB，然后證明△DAB和△DAE全等，從而得出AB=AE，結合OB=OD得出OA∥DE，從而得出答案；(2)、根據切線的性質得出AE=AC=AB=6，根據Rt△ABD的三角函數得出答案；(3)、根據OA是中位線得出△CDF和△AOF相似，從而得出答案．

詳解：（1）證明：連接OA，由圓周角定理得，∠ACB=∠ADB，∵∠ADE=∠ACB，∴∠ADE=∠ADB，

∵BD是直徑，∴∠DAB=∠DAE=90°，在△DAB和△DAE中，

∠BAD=∠EAD，DA=DA，∠BDA=∠EDA，∴△DAB≌△DAE，∴AB=AE，又∵OB=OD，

∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，∴OA⊥AH，∴AH是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，∠E=∠DBE，∠DBE=∠ACD，∴∠E=∠ACD，∴AE=AC=AB=6．

在Rt△ABD中，AB=6，BD=8，∠ADE=∠ACB，∴sin∠ADB=，即sin∠ACB=；

（3）證明：由（2）知，OA是△BDE的中位線，∴OA∥DE，OA=DE．

∴△CDF∽△AOF，∴，∴CD=OA=DE，即CD=CE，∵AC=AE，AH⊥CE，

∴CH=HE=CE，∴CD=CH，∴CD=DH．