Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，點E是邊AC的中點，連接DE，DE的延長線與邊BC相交于點F，AG∥BC，交DE于點G，連接AF、CG.

(1)求證：AF＝BF；

(2)如果AB＝AC，求證：四邊形AFCG是正方形．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的性質，可得AF=CF，再根據等角的余角相等可得∠B=∠BAF，所以AF=BF．
（2）由AAS可證△AEG≌△CEF，所以AG=CF．由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得四邊形AFCG是平行四邊形，進而證得四邊形AFCG是菱形，最后根據有一個角為直角的菱形是正方形得證四邊形AFCG是正方形．

證明　(1)∵AD＝CD，點E是邊AC的中點，

∴DE⊥AC.

即得DE是線段AC的垂直平分線．

∴AF＝CF.

∴∠FAC＝∠ACB.

在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，

得∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°.

∴∠B＝∠BAF.

∴AF＝BF.

(2)∵AG∥CF，

∴∠AGE＝∠CFE.

又∵點E是邊AC的中點，

∴AE＝CE.

在△AEG和△CEF中，

∴△AEG≌△CEF(AAS)．

∴AG＝CF.

又∵AG∥CF，

∴四邊形AFCG是平行四邊形．

∵AF＝CF，

∴四邊形AFCG是菱形．

在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF.

即得點F是邊BC的中點．

又∵AB＝AC，

∴AF⊥BC.即得∠AFC＝90°.

∴四邊形AFCG是正方形．