Question

【題目】如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連AD．

（1）求證：AD=AN；

（2）若AE=，ON=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3；

【解析】

（1）先根據圓周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性質得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出結論；

（2）先根據AE的長，設NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1，連結AO，則AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根據勾股定理可得出x的值，進而得出結論；

（1）證明：∵∠BAD與∠BCD是同弧所對的圓周角，

∴∠BAD=∠BCD，

∵AE⊥CD，AM⊥BC，

∴∠AMC=∠AEN=90°，

∵∠ANE=∠CNM，

∴∠BCD=∠BAM，

∴∠BAM=BAD，

在△ANE與△ADE中，

，

∴△ANE≌△ADE，

∴AD=AN；

（2）∵AE=2，AE⊥CD，

又∵ON=1，

∴設NE=x，則OE=x-1，NE=ED=x，

r=OD=OE+ED=2x-1

連結AO，則AO=OD=2x-1，

∵△AOE是直角三角形，AE=2，OE=x-1，AO=2x-1，

∴（2）2+（x-1）2=（2x-1）2，

解得x=2，

∴r=2x-1=3.