Question

【題目】農經公司以30元/千克的價格收購一批農產品進行銷售，為了得到日銷售量p（千克）與銷售價格x（元/千克）之間的關系，經過市場調查獲得部分數據如下表：

銷售價格x（元/千克）	30	35	40	45	50
日銷售量p（千克）	600	450	300	150	0

（1）請你根據表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定p與x之間的函數表達式；
（2）農經公司應該如何確定這批農產品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？
（3）若農經公司每銷售1千克這種農產品需支出a元（a＞0）的相關費用，當40≤x≤45時，農經公司的日獲利的最大值為2430元，求a的值．（日獲利=日銷售利潤﹣日支出費用）

Answer 1

【答案】
（1）解：假設p與x成一次函數關系，設函數關系式為p=kx+b，

則 ，

解得：k=﹣30，b=1500，

∴p=﹣30x+1500，

檢驗：當x=35，p=450；當x=45，p=4150；當x=50，p=0，符合一次函數解析式，

∴所求的函數關系為p=﹣30x+1500；

（2）解：設日銷售利潤w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）

即w=﹣30x2+2400x﹣45000，

∴當x=﹣ =40時，w有最大值3000元，

故這批農產品的銷售價格定為40元，才能使日銷售利潤最大；

（3）解：日獲利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），

即w=﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），

對稱軸為x=﹣ =40+ a，

①若a＞10，則當x=45時，w有最大值，

即w=2250﹣150a＜2430（不合題意）；

②若a＜10，則當x=40+ a時，w有最大值，

將x=40+ a代入，可得w=30（ a2﹣10a+100），

當w=2430時，2430=30（ a2﹣10a+100），

解得a1=2，a2=38（舍去），

綜上所述，a的值為2．

【解析】（1）首先根據表中的數據，可猜想y與x是一次函數關系，任選兩點求表達式，再驗證猜想的正確性；（2）根據題意列出日銷售利潤w與銷售價格x之間的函數關系式，根據二次函數的性質確定最大值即可；（3）根據題意列出日銷售利潤w與銷售價格x之間的函數關系式，并求得拋物線的對稱軸，再分兩種情況進行討論，依據二次函數的性質求得a的值．