Question

【題目】已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，點A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點（A、B、C不與點O重合），連接AC交射線OE于點D．設∠OAC= °．

（1）如圖1，若AB//ON，則①∠ABO的度數；②當∠BAD=∠ABD時， =；③當∠BAD=∠BDA時， = ．
（2）如圖2，若AB⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由 ．

Answer 1

【答案】
（1）20°；120°；60°
（2）存在，x＝50、20、35或125
【解析】（1）①運用平行線的性質以及角平分線的定義，可得①∠ABO的度數；②根據∠ABO、∠BAD的度數以及△AOB的內角和，可得x的值；（2）分兩種情況進行討論：AC在AB左側，AC在AB右側，分別根據三角形內角和定理以及直角的度數，可得x的值．
試題解析：如圖1,①∵∠MON=36° ， OE平分∠MON，
∴∠AOB=∠BON=18 ，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=18；
②當∠BAD=∠ABD時,∠BAD=18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°18°×3=126°；
當∠BAD=∠BDA時,∵∠ABO=18°，
∴∠BAD=81°,∠AOB=18°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
∴∠OAC=180°18°18°81°=63°，
故答案為：①18°；②126，63；
2）如圖2，存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個相等的角。
∵AB⊥OM,∠MON=36，OE平分∠MON，
∴∠AOB=18°,∠ABO=72°，
①當AC在AB左側時：
若∠BAD=∠ABD=72°,則∠OAC=90°72°=18°；
若∠BAD=∠BDA=180°72°2=54°,則∠OAC=90°54°=36°；
若∠ADB=∠ABD=72°,則∠BAD=36°,故∠OAC=90°36°=54°；
②當AC在AB右側時：
∵∠ABE=108°,且三角形的內角和為180°，
∴只有∠BAD=∠BDA=180°108°2=36°,則∠OAC=90°+36°=126°.
綜上所述，當x=18、36、54、126時，△ADB中有兩個相等的角。
：本題考查三角形的內角與外教的綜合應用.求角的關鍵是把未知角放在三角形中，利用三角形的內角和定理求角，或轉化為已知角有互余或互補關系的角，有些題目還可以轉化為已知角的和或差來求解.