Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別為BC、AB上的點，且CD＝BF，以AD為邊作等邊△ADE．

（1）求證：△ACD≌△CBF；

（2）點D在線段BC上何處時，四邊形CDEF是平行四邊形且．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）在△ACD和△CBF中，根據已知條件有兩邊和一夾角對應相等，可根據邊角邊來證明全等．
（2）當∠DEF=30°，即為∠DCF=30°，在△BCF中，∠CFB=90°，即F為AB的中點，又因為△ACD≌△CBF，所以點D為BC的中點．

證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AC=BC，∠FBC=∠DCA，
在△ACD和△CBF中，，
所以△ACD≌△CBF（SAS）；

（2）當D在線段BC上的中點時，四邊形CDEF為平行四邊形，且∠DEF=30°.
如圖，連接BE，

在△AEB和△ADC中，
AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∠EAB=∠DAC，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
又∵△ACD≌△CBF，
∴△AEB≌△ADC≌△CFB，
∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，
∴△EFB為正三角形，
∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠EFB=∠ABC=60°，
∴EF∥BC，
而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，
∴四邊形CDEF為平行四邊形，
∵D在線段BC上的中點，
∴F在線段AB上的中點，
∴∠FCD=×60°=30°
則∠DEF=∠FCD=30°．