Question

如圖①，△ABC的角平分線BD、CE相交于點P. 

   （1）如果∠A=70°，求∠BPC的度數；

   （2）如圖②，過P點作直線MN∥BC，分別交AB和AC于點M和N，試求

       ∠MPB+∠NPC的度數（用含∠A的代數式表示）；

（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點P旋轉.

        （i）當直線MN與AB、AC的交點仍分別在線段AB和AC上時，如圖③，

試探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系，并說明你的理由；

       （ii）當直線MN與AB的交點仍在線段AB上，而與AC的交點在AC的

            延長線上時，如圖④，試問（i）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之間

            的數量關系是否仍然成立？若成立，請說明你的理由；若不成立，請

            給出∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系，并說明你的理由.           

Answer 1

（1）125°（3分）；（2）利用平行線的性質求解或先說明∠BPC=90°+∠A，∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A（3分）；（3）（每小題4分）（i）∠MPB+∠NPC= 90°-∠A（2分）.理由：先說明∠BPC=90°+∠A，則∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A（2分）；（ii）不成立（1分），∠MPB-∠NPC=90°-∠A（1分）.理由：由圖可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，由（i）知：∠BPC=90°+∠A，∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A（2分）.