Question

已知，如圖，BE、CF分別是△ABC的邊AC、AB上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連接AD、AG．請你判斷線段AD與AG有什么關系？并證明．

Answer 1

分析：線段AD與AG的數量關系相等，位置關系是垂直，理由為：由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定義得到一對角相等，再由一對對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形BHF與三角形CHE相似，由相似三角形的對應角相等得到一對角相等，再由AB=CG，BD=AC，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACG全等，由全等三角形的對應邊相等可得出AD=AG，∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代換可得出∠AED=∠GAD=90°，即AG與AD垂直．

解答：解：線段AD與AG的數量關系為AD=AG，位置關系是AD⊥GA，理由為：
證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB=∠HEC=90°，又∠BHF=∠CHE，
∴△BHF∽△CHE，
∴∠ABD=∠ACG，
在△ABD和△GCA中
∵

AB=CG ∠ABD=∠ACG BD=CA

，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AD=GA，∠ADB=∠GAC，
又∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，
∴∠AED=∠GAD=90°，
∴AD⊥GA．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．