Question

【題目】找規(guī)律

如圖①所示的是一個(gè)三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖②，再分別連接圖②中間的小三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖③，按此方法繼續(xù)連接，請(qǐng)你根據(jù)每個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)的規(guī)律完成各題。

（1）將下表填寫完整；

圖形編號(hào)	①	②	③	④	⑤	…
三角形個(gè)數(shù)	1	5				…

（2）在第n個(gè)圖形中有_________________個(gè)三角形。(用含n的式子表示)

（3）按照上述方法，能否得到2019個(gè)三角形?如果能，請(qǐng)求出n；如果不能，請(qǐng)簡述理由。

Answer 1

【答案】（1）9，13，17；（2）(4n-3)；（3）不能，n不是整數(shù).

【解析】

（1）通過相鄰的兩個(gè)圖形中三角形個(gè)數(shù)比較：后面的三角形是將前面相鄰的最中間的三角形分成了四個(gè)小三角形，即后面的三角形個(gè)數(shù)比它前面相鄰的三角形多4個(gè)，即可寫出；

（2）通過每個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，找到每個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)與第n個(gè)圖形的關(guān)系即可；

（3）利用（2）得到的規(guī)律公式，若能求出正整數(shù)n的值，即能得到；若求出的n不是正整數(shù)，即不能得到.

解：（1）由圖可知：后面的三角形是將前面相鄰的最中間的三角形分成了四個(gè)小三角形，即后面的三角形個(gè)數(shù)比它前面相鄰的三角形多4個(gè)，

∵圖②中有5個(gè)三角形，

∴圖③中有5+4=9個(gè)三角形，圖④中有5+4+4=13個(gè)三角形，圖⑤中有5+4+4+4=17個(gè)三角形；

（2）∵后面的三角形個(gè)數(shù)比它前面相鄰的三角形個(gè)數(shù)多4個(gè)，

∴圖①中的三角形個(gè)數(shù)為：1=4×1－3

圖②中的三角形個(gè)數(shù)為：5=4×1－3＋4=4×2－3

圖③中的三角形個(gè)數(shù)為：9=4×2－3＋4=4×3－3

圖④中的三角形個(gè)數(shù)為：13=4×3－3＋4=4×4－3

故圖n中的三角形個(gè)數(shù)為：4n－3；

（3）若能，則4n－3=2019

解得n=505.5，

∵n為正整數(shù)，矛盾.

∴不能得到2019個(gè)三角形，