Question

（2008•門頭溝區二模）如圖，正方形ABCD繞點A逆時針旋轉n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點O．
（1）請在圖中連接兩條線段（正方形的對角線除外）．要求：①所連接的兩條線段是以圖中已標有字母的點為端點；②所連接的兩條線段互相垂直．
（2）若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形AEOD）的面積為

4 3

3

cm2，旋轉的角度n是多少度？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易證Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠DAO=∠OAE，則問題得證；
（2）四邊形AEOD，若連接OA，則OA把四邊形評分成兩個全等的三角形，根據解直角三角形得條件就可以求出旋轉的角度．

解答：解：（1）AO⊥DE．
證明：∵在Rt△ADO與Rt△AEO中，

AD=AE AO=AO

，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE），
∴AO⊥DE（等腰三角形的三線合一）．

（2）n=30°．
理由：連接AO，
∵四邊形AEOD的面積為

4 3

3

，
∴三角形ADO的面積

AD×DO

2

=

2 3

3

，
∵AD=2，
∴DO=

2 3

3

，
在Rt△ADO中，
∵tan∠DAO=

DO

AD

=

3

3

，
∴∠DAO=30°，
∴∠EAD=60°，∠EAB=30°，
即n=30°．故旋轉的角度n是30°．

點評：本題考查了正方形和旋轉的性質，利用旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變是解題關鍵．