Question

【題目】在線段AB的同側作射線AM和BN，若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN，AM于點E，F，AE和BF交于點P．如圖，點點同學發現當射線AM，BN交于點C；且∠ACB=60°時，有以下兩個結論：
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那么，當AM∥BN時：

（1）點點發現的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請求出∠APB的度數，寫出AF，BE，AB長度之間的等量關系，并給予證明；
（2）設點Q為線段AE上一點，QB=5，若AF+BE=16，四邊形ABEF的面積為32 ，求AQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解：點點的結論：①∵∠ACB=60°，

∴∠BAC+∠ABC=120°，

∵∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN，AM于點E，F，

∴∠PAB+∠PBA= （∠PAB+∠PBA）=60°，

∴∠APB=120°，

②如圖，在AB上取一點G，使AG=AF，

∵AE是∠BAM的角平分線，

∴∠PAG=∠PAF，

在△PAG和△PAF中， ，

∴△PAG≌△PAF（SAS），

∴∠AFP=∠AGP，

∵∠EPF=∠APB=120°，∠ACB=60°，

∴∠EPF+∠ACB=180°，

∴∠PFC+∠PEC=180°，

∵∠PFC+∠AFP=180°，

∴∠PEC=∠AFP，

∴∠PEC=∠AGP，

∵∠AGP+∠BGP=180°，

∴∠PEC+∠BGP=180°，

∵∠PEC+∠PEB=180°，

∴∠BGP=∠BEP，

∵BF是∠ABC的角平分線，

∴∠PBG=∠PBE，

在△BPG和△BPE中， ，

∴△BPG≌△BPE（AAS），

∴BG=BE，

∴AF+BE=AB．

原命題不成立，新結論為：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），

理由：∵AM∥BN，

∴∠MAB+∠NBA=180°，

∵AE，BF分別平分∠MAB，NBA，

∴∠EAB= ∠MAB，∠FBA= ∠NBA，

∴∠EAB+∠FBA= （∠MAB+∠NBA）=90°，

∴∠APB=90°，

∵AE平分∠MAB，

∴∠MAE=∠BAE，

∵AM∥BN，

∴∠MAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

同理：AF=AB，

∴AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）

（2）

解：如圖1，

過點F作FG⊥AB于G，

∵AF=BE，AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AF+BE=16，

∴AB=AF=BE=8，

∵32 =8×FG，

∴FG=4 ，

在Rt△FAG中，AF=8，

∴∠FAG=60°，

當點G在線段AB上時，∠FAB=60°，

當點G在線段BA延長線時，∠FAB=120°，

①如圖2，

當∠FAB=60°時，∠PAB=30°，

∴PB=4，PA=4 ，

∵BQ=5，∠BPA=90°，

∴PQ=3，

∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3．

②如圖3，

當∠FAB=120°時，∠PAB=60°，∠FBG=30°，

∴PB=4 ，

∵PB=4 ＞5，

∴線段AE上不存在符合條件的點Q，

∴當∠FAB=60°時，AQ=4 ﹣3或4 +3．

【解析】點點的兩個結論：①利用三角形的角平分線和三角形的內角和即可得出結論；②先判斷出△PAG≌△PAF（SAS）得出∠AFP=∠AGP，結合同角的補角相等即可得出∠BGP=∠BEP，進而判斷出△BPG≌△BPE（AAS），即可得出結論；（1）由角平分線和平行線整體求出∠MAB+∠NBA，從而得到∠APB=90°，最后用等邊對等角，即可．（2）先根據條件求出AF，FG，求出∠FAG=60°，最后分兩種情況討論計算．