Question

【題目】如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，且BF是⊙O的切線，BF交AC的延長線于F．

（1）求證：∠CBF=∠CAB． （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明略；（2）BC=，BF=.

【解析】

試題（1）連結AE.有AB是⊙O的直徑可得∠AEB=90°再有BF是⊙O的切線可得BF⊥AB，利用同角的余角相等即可證明；

（2）在Rt△ABE中有三角函數可以求出BE，又有等腰三角形的三線合一可得BC=2BE,

過點C作CG⊥AB于點G.可求出AE,再在Rt△ABE中，求出sin∠2，cos∠2.然后再在Rt△CGB中求出CG，最后證出△AGC∽△ABF有相似的性質求出BF即可.

試題解析：

（1）證明：連結AE.∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°.

∵BF是⊙O的切線，∴BF⊥AB， ∴∠CBF +∠2=90°.∴∠CBF =∠1.

∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴∠1=∠CAB.

∴∠CBF=∠CAB.

（2）解：過點C作CG⊥AB于點G.∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF， ∴sin∠1=.

∵∠AEB=90°，AB=5. ∴BE=AB·sin∠1=.

∵AB=AC，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=.

在Rt△ABE中，由勾股定理得.

∴sin∠2=，cos∠2=.

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2. ∴AG=3.

∵GC∥BF， ∴△AGC∽△ABF. ∴，

∴.