Question

【題目】如圖，已知⊙O為△ABC（∠A＜∠ABC）的外接圓，且AB為的直徑，AB=8，點D為AB延長線上一點，點 E為半徑OB上一點，連接CD、CE、OC，且∠BCD=∠A．

（1）求證：CD為的切線；

（2）若CB=CE，求證：CE2=CO2-OA·OE；

（3）在（2）的條件下，求OE+BC的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）OE+BC有最大值為5．

【解析】

（1）運用圓的性質和角的和差，確定∠OCD=∠BCD+∠BCO=90°,即可證明；（2）先證明△OBC∽△CBE，運用其性質結合等量代換即可解答.（3）設BC=x，AB=8，∴OA=OC=4，結合（2）的結論，求二次函數的最小值即可；

解：（1）∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=90°，

又∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，

∵∠BCD=∠A，∴∠BCD+∠BCO=90°，∴CD為⊙O切線；

（2）∵CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，

又OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，

∴△OBC∽△CBE，

∴，即BC2=BE·OB，

又BC=EC，OB=OC=OA，

∴CE2=(OB-OE)·OB= CO2-OA·OE；

（3）設BC=x，∵AB=8，∴OA=OC=4，

由（2）知x2=16-4OE，∴OE=，

∴OE+BC==，

∵∠A＜∠ABC，

∴0＜x＜，

∴當x=2時，OE+BC有最大值為5．