Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系xOy 中，拋物線y=ax2+bx+3經過點A(-1，0) 、B(3，0) 兩點，且與y軸交于點C

.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、 Q兩點（點P在點Q的左側），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D，連接DP、DQ.

①若點P的橫坐標為，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D 的坐標；

②直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線y=-x2+2x+3；（2）①點D（ ）；②△PQD面積的最大值為8

【解析】（1）根據點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；
（2）（I）由點P的橫坐標可得出點P、Q的坐標，利用待定系數法可求出直線PQ的表達式，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，設點D的坐標為（x，-x2+2x+3），則點E的坐標為（x，-x+），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+，再利用二次函數的性質即可解決最值問題；
（II）假設存在，設點P的橫坐標為t，則點Q的橫坐標為4+t，進而可得出點P、Q的坐標，利用待定系數法可求出直線PQ的表達式，設點D的坐標為（x，-x2+2x+3），則點E的坐標為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函數的性質即可解決最值問題．

（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：

，解得：，
∴拋物線的表達式為y=-x2+2x+3．
（2）（I）當點P的橫坐標為-時，點Q的橫坐標為，
∴此時點P的坐標為（-，），點Q的坐標為（，-）．
設直線PQ的表達式為y=mx+n，
將P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：

，解得：，

∴直線PQ的表達式為y=-x+．
如圖②，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，

設點D的坐標為（x，-x2+2x+3），則點E的坐標為（x，-x+），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，
∴S△DPQ=DE（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．
∵-2＜0，
∴當x=時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時點D的坐標為（，）．
（II）假設存在，設點P的橫坐標為t，則點Q的橫坐標為4+t，
∴點P的坐標為（t，-t2+2t+3），點Q的坐標為（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系數法易知，直線PQ的表達式為y=-2（t+1）x+t2+4t+3．
設點D的坐標為（x，-x2+2x+3），則點E的坐標為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，
∴S△DPQ=DE（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．
∵-2＜0，
∴當x=t+2時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8．
∴假設成立，即直尺在平移過程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8．