Question

【題目】（操作發現）

（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，先將三角板中的60°角與∠ACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0°且小于30°），旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D，在三角板斜邊上取一點F，使CF=CD，線段AB上取點E，使∠DCE=30°，連接AF，EF．

①求∠EAF的度數；

②DE與EF相等嗎？請說明理由；

（類比探究）

（2）如圖2，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，先將三角板的90°角與∠ACB重合，再將三角板繞點C按順時針方向旋轉（旋轉角大于0°且小于45°），旋轉后三角板的一直角邊與AB交于點D，在三角板另一直角邊上取一點F，使CF=CD，線段AB上取點E，使∠DCE=45°，連接AF，EF．

①∠EAF= ；

②當AE=1，ED=2時，求DB的長．

Answer 1

【答案】（1）120°；DE=EF；（2）①∠EAF=90°；DB=.

【解析】

（1）①由已知條件不難證明△ACF≌△BCD，可得∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF的度數即可；②由已知條件可得△DCE≌△FCE，即可證明DE=EF；（2）①由（1）同理可得∠EAF=90°；②由已知條件證明△DCE≌△FCE，所以DE=EF，在Rt△AEF中，由勾股定理求出AF的長度，即可得出BD的長度.

解：（1）①∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，

∵∠DCF=60°，

∴∠ACF=∠BCD，

在△ACF和△BCD中，，

∴△ACF≌△BCD（SAS），

∴∠CAF=∠B=60°，

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；

②DE=EF；理由如下：

∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，

∴∠FCE=60°﹣30°=30°，

∴∠DCE=∠FCE，

在△DCE和△FCE中，，

∴△DCE≌△FCE（SAS），

∴DE=EF；

（2）①∠EAF=90°；

②∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，

∴∠FCE=90°﹣45°=45°，

∴∠DCE=∠FCE，

在△DCE和△FCE中，，

∴△DCE≌△FCE（SAS），

∴DE=EF，

在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，

又∵AF=DB，

∴AE2+DB2=DE2．

∵AE=1，ED=2，

∴DB=.