Question

【題目】如圖,在四邊形ABCD中,,.連接AC、BD,.過點B作,分別交AC、AD于點E、F.點G為BD中點,連接CG.

(1)求證:

(2)根據題中所給條件,猜想:CE與CG的數量關系,并請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）根據AB⊥AD，BE⊥AC，可推導得出∠ABE=∠DAC，再根據∠DCA=∠AEB=90°，AB=AD，即可得△ABE≌△DAC；

(2)結論:CE=CG，連接AG、EG，證明△CAG≌△EBG，從而得到CG=EG，∠ACG=∠BEG，

繼而可得∠ACG=∠CEG=∠GEB，再根據BE⊥AC，從而得∠ACG=∠CEG=∠GEB=45°，得到∠CGE=90°，得到CE=CG.

試題解析：（1）∵AB⊥AD，∴∠BAE+∠DAC=90°，

又∵BE⊥AC，∴∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠ABE=∠DAC，

∵AC⊥DC，∴∠DCA=∠AEB=90°，

又∵AB=AD，∴△ABE≌△DAC；

(2)結論:CE=CG，理由如下：

連接AG、EG，

由（1）知BE=AC，∠DAC=∠ABE，

∵∠BAD=90°，AB=AD，G為BD的中點，∴AG=BG，∠DAG=∠BAG=∠ABD=45°，

∵∠DAC=∠ABE，∴∠CAG=∠EBG，

又∵BE=AC，AG=BG，∴△CAG≌△EBG，

∴CG=EG，∠ACG=∠BEG，

∴∠ACG=∠CEG，∴∠ACG=∠CEG=∠GEB，

又∵BE⊥AC，∴∠ACG=∠CEG=∠GEB=45°，

∴∠CGE=90°，∴CE=CG.