Question

【題目】已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D是平面內一點，連接CD，將線段CD繞C順時針旋轉60°得到線段CE，連接BE，AD，并延長AD交BE于點P．

（1）當點D在圖1所在的位置時

①求證：△ADC≌△BEC；

②求∠APB的度數；

③求證：PD+PE＝PC；

（2）如圖2，當△ABC邊長為4，AD＝2時，請直接寫出線段CE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②∠APB＝60°；③見解析；（2）當∠ADC＝90°時，CE取最大值為2．

【解析】

（1）①根據旋轉的性質和等邊三角形的性質以及全等三角形的判定證明即可；

②根據全等三角形的判定和性質以及三角形內角和解答即可；

③根據等邊三角形的性質以及全等三角形的判定和性質解答即可；

（2）當∠ADC＝90°時，CE取最大值，進而利用直角三角形的性質解答即可．

（1）①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，

∵將線段CD繞C順時針旋轉60°得到線段CE，

∴CE＝CD，∠DCE＝60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴∠DCE＝60°，

∵∠ACD+∠DCB＝60°，∠BCE+∠DCB＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

②∵△ACD≌△BCE，

∴∠EBC＝∠DAC，

∵∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°，

∴∠PBC+∠BAD＝60°，

∴∠APB＝180°﹣∠ABC+∠PBC+∠BAP＝180°﹣60°﹣60°＝60°；

③∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE＝∠CAD，

∵∠CAD+∠BAD＝60°，∠BAD+∠DBC＝60°，

∴∠BAD+∠ABD＝∠BDP＝60°，

∵∠APB＝60°，

∴△BDP是等邊三角形，

∴DP＝BP，

∴PD+PE＝BE，

∵△ADC≌△BEC，

∴AD＝BE，

∵在△ABD與△CBP中

，

∴△ABD≌△CBP（SAS），

∴AD＝PC，

∴PD+PE＝PC；

（2）當∠ADC＝90°時，CE取最大值，

∵AB＝AC＝4，AD＝2，

∴CD＝ ，

∴CE＝2，

即當∠ADC＝90°時，CE取最大值為2．