Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以點C為圓心、CB為半徑的圓交AB于點D，過點A作AE∥CD，交BC延長線于點E.

（1）求CE的長；

（2）P是 CE延長線上一點，直線AP、CD交于點Q.

①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的長；

②如果以點A為圓心，AQ為半徑的圓與⊙C相切，求CP的長.

Answer 1

【答案】（1）CE=；（2）①；②

【解析】分析：（1）由平行線分線段成比例定理得：．再由BC=DC，得到BE=AE．設CE=x，則AE=BE=x+2．在Rt△ACE中，由勾股定理即可得出結論．

（2）①由△ACQ ∽△CPQ，得到∠ACQ=∠P．再由平行線的性質得到∠ACQ=∠CAE，則∠CAE=∠P，即可證明△ACE ∽△PCA，由相似△的性質即可得到結論．

②設CP=t，則 ．在Rt△ACP中，由勾股定理得： ．

再由平行線分線段成比例定理得，可求出．然后分兩種情況討論：①若兩圓外切，則，②若兩圓內切，則，解方程即可．

詳解：（1）∵AE∥CD，∴．∵BC=DC，∴BE=AE．

設CE=x，則AE=BE=x+2．

∵ ∠ACB=90°，∴ ，即，∴，即．

（2）①∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P，∴∠ACQ=∠P．

又∵AE∥CD，∴∠ACQ=∠CAE，∴∠CAE=∠P，

∴△ACE ∽△PCA，

∴，

即，

∴ ．

②設CP=t，則 ．

∵∠ACB=90°，∴ ．

∵AE∥CD，∴，即，∴．

若兩圓外切，那么，此時方程無實數解．

若兩圓內切，那么，∴ ，解得．

又∵，∴．