Question

【題目】如圖，已知E，F分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點，AF與DE交于點M，O為BD的中點，則下列結論：

①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=MF．其中正確結論的是（　　）

A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據正方形的性質可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根據中點定義求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，從而求出∠AMD=90°，再根據鄰補角的定義可得∠AME=90°，得出①正確；
根據中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判斷出②錯誤；
根據直角三角形的性質判斷出△AED、△MAD、△MEA三個三角形相似，利用相似三角形對應邊成比例可得=2，然后求出MD=2AM=4EM，判斷出④正確，設正方形ABCD的邊長為2a，利用勾股定理列式求出AF，再根據相似三角形對應邊成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判斷出③正確．

在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，

∵E、F分別為邊AB，BC的中點，

∴AE=BF=BC，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（SAS），

∴∠BAF=∠ADE，

∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，

∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，

∴∠AMD=180°﹣（∠ADE+∠DAF）=180°﹣90°=90°，

∴∠AME=180°﹣∠AMD=180°﹣90°=90°，故①正確；

∵DE是△ABD的中線，

∴∠ADE≠∠EDB，

∴∠BAF≠∠EDB，故②錯誤；

∵∠BAD=90°，AM⊥DE，

∴△AED∽△MAD∽△MEA，

∴=2，

∴AM=2EM，MD=2AM，

∴MD=2AM=4EM，故④正確；

設正方形ABCD的邊長為2a，則BF=a，

在Rt△ABF中，AF=，

∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，

∴△AME∽△ABF，

∴，

即，

解得AM=，

∴MF=AF﹣AM=a﹣=，

∴AM=MF，故⑤正確；

如圖，過點M作MN⊥AB于N，

則，

即 ，

解得MN=a，AN=a，

∴NB=AB﹣AN=2a﹣a=a，

根據勾股定理，BM=，

過點M作GH∥AB，過點O作OK⊥GH于K，

則OK=a﹣a=a，MK=a﹣a=a，

在Rt△MKO中，MO=，

根據正方形的性質，BO=2a×=a，

∵BM2+MO2=（ a）2+（a）2=2a2，

BO2=（a）2=2a2，

∴BM2+MO2=BO2，

∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正確；

綜上所述，正確的結論有①③④⑤共4個．

故選：C．