Question

如圖，小明把一張長為20cm，寬為10cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子．設剪去的正方形邊長為x （cm），折成的長方體盒子的側面積為y （cm²），底面積為S （cm²）．
（1）求S與x之間的函數關系式，并求S=44 （cm²）時x的值；（結果可保留根式）
（2）求y與x之間的函數關系式；在x的變化過程中，y會不會有最大值？x取何值時取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由圖可知：長方體盒子的底面的長和寬分別是原矩形的長和寬減去兩個小正方形的邊長，根據矩形的面積=長×寬，我們可得出一個關于正方形邊長x的方程．從而求解．
（2）長方體盒子的側面積是四個小矩形，都是以正方形的邊長為寬，以盒子的底面的長或寬為長，根據這個關系，我們可列出關于側面積和正方形邊長x的函數關系式，然后根據函數的性質來求出這個最值．

解答：解：（1）S=（10-2x）（20-2x）=4x²-60x+200，（3分）
4x²-60x+200=44，x²-15x+39=0，
x₁=

15- 69

2

，x₂=

15+ 69

2

（舍）；（5分）

（2）y=2x（20-2x）+2x（10-2x）=-8x²+60x，（8分）
當x=

15

4

=3.75時，y有最大值

225

2

=112.5cm²．（10分）

點評：對于面積問題應熟記各種圖形的面積公式．然后根據題意來列出方程或函數式求解．