Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點是第一象限內的點，直線與軸交于點，過點作軸，垂足為，過點的直線與軸交于點，已知直線上的點的坐標是方程的解，直線上的點的坐標是方程的解

(1)求點的坐標

(2)證明：（要求寫出每一步的推理依據）；

(3)求點的坐標，并求三角形的面積

Answer 1

【答案】（1）B（3，4），C（0，4）；（2）見解析；（3）點E的坐標為：（1，2），面積為3

【解析】

（1）由直線CD上的點的坐標（x，y）是方程2x+y=4的解，則當x=0時，y=4，則點C的坐標（0，4），由BC⊥y軸，直線AB上的點的坐標（x，y）是方程x-y=-1的解，當y=4時，x=3，則點C的坐標（3，4）；
（2）由垂直于同一條直線的兩條直線平行得出CB∥x軸，由兩平行直線被第三條直線所截，內錯角相等得出∠ABC=∠BAD，由對頂角相等得出∠1=∠BAD，等量代換即可得出結論；
（3）由題意得點E的坐標（x，y）是 的解，求出點E的坐標（1，2），再求出點D的坐標（2，0），點A的坐標（-1，0），則AD=3，△AED底邊AD上的高為2，由三角形面積公式即可得出結果．

（1）解：∵直線CD上的點的坐標（x，y）是方程2x+y=4的解，
∴當x=0時，2×0+y=4，
解得：y=4，
∴點C的坐標為：（0，4），
∵BC⊥y軸，直線AB上的點的坐標（x，y）是方程x-y=-1的解，
∴當y=4時，x-4=-1，
解得：x=3，
∴點B的坐標為：（3，4）；
（2）證明：∵BC⊥y軸（已知），
∴CB∥x軸（垂直于同一條直線的兩條直線平行），
∵∠ABC=∠BAD（兩平行直線被第三條直線所截，內錯角相等），
∵∠1=∠BAD（對頂角相等），
∴∠ABC=∠1（等量代換）；
（3）解：由題意得點E的坐標（x，y）是的解，
解得： ，
∴點E的坐標為：（1，2），
∵直線CD上的點的坐標（x，y）是方程2x+y=4的解，
∴當y=0時，2x+0=4，
解得：x=2，
∴點D的坐標為：（2，0），
∵直線AB上的點的坐標（x，y）是方程x-y=-1的解，
∴當y=0時，x-0=-1，
解得：x=-1，
∴點A的坐標為：（-1，0），
∴AD=2-（-1）=3，
∵點E的坐標為：（1，2），
∴△AED底邊AD上的高為2，
∴S△ADE=×3×2=3．