Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線與直線交于A, B兩點，其中點A在x軸上.

（1）用含有b的代數式表示c；

（2）① 若點B在第一象限，且，求拋物線的解析式；

② 若，結合函數圖象，直接寫出b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）c=b-1；

（2）①拋物線的解析式為；② 或.

【解析】

(1)由題意直線y=x+1與x軸交于點A，可得出點A坐標 ，又因拋物線y=x2+bx+c經過點A，所以將點A坐標代入拋物線解析式可解得.

（2）①由y=x+1可推得∠OAC=45.

如圖，已知AB=3，

Rt△ABD中,利用勾股定理可解出AD=BD=3,所以點B的坐標為(2,3) .

將點B的坐標(2,3)代入拋物線y=x2+bx+c的解析式可得2b+c=-1.

并與（1）中得到的c=b-1聯立方程組并解出方程組可得b,c的值,帶入得到

拋物線的解析式.

②因為，結合函數圖象，可直接得出b的取值范圍.或.

解：（1）由題意直線y=x+1與x軸交于點A

可得點A坐標為(-1,0)

又因拋物線y=x2+bx+c經過點A

所以將點A坐標(-1,0)代入拋物線解析式可得

1-b+c=0，即c=b-1.

（2）①設y=x+1與y軸交于點C，可得

A (-1,0)，C (0,1).

可知OA=OC=1.

又因∠AOC=90,

所以∠OAC=45.

如圖，已知AB=3，過B作BD⊥x軸于點D,

易知∠ADB=90.

又因∠BAD=45，AB=3，

所以AD=BD=3.

所以點B的坐標為(2,3) .

將點B的坐標(2,3)代入拋物線y=x2+bx+c的解析式可得2b+c=-1.

并與（1）中得到的c=b-1聯立方程組可得：

解得

得拋物線的解析式為.

②因為，由函數圖象（1）得， 對稱軸 即b≤0.

由函數圖象（2）得， 對稱軸 即b≥6.

所以可得出b的取值范圍或.