Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點A(﹣，0)，B(，0)，C(0，).D，E分別是線段AC和CB上的點，CD＝CE.將△CDE繞點C逆時針旋轉一個角度α.

(1)若0°＜α＜90°，在旋轉過程中當點A，D，E在同一直線上時，連接AD，BE，如圖2.求證：AD＝BE，且AD⊥BE

(2)若0°＜α＜360°，D，E恰好是線段AC和CB上的中點，在旋轉過程中，當DE∥AC時，求α的值及點E的坐標.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)α=45°時，點E的坐標為(1，)；α=225°時，點E的坐標為(﹣1，)

【解析】

(1)證明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，則結論得證；

(2)由勾股定理求出AC長，可求出CD 的長，如圖1，當α＝∠ACO＝45°時，求出點E的坐標為(1，)，如圖2，當α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°時，求出點E的坐標為(﹣1，).

(1)∵點A(﹣，0)，B(，0)，C(0，)，

∴OC垂直平分AB，OA＝OB＝OC，

∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠ACB＝90°，

根據旋轉的性質得，∠ACD＝∠BCE，

又∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∴∠BAE+∠ABE＝(∠CAB﹣∠CAD)+(∠ABC+∠CBE)＝90°，

∴∠AEB＝180°﹣(∠BAE+∠ABE)＝90°，即AD⊥BE；

(2)由(1)知，∠ACB＝90°，AC＝BC，

在Rt△AOC中，AC＝＝2，

∵D，E是線段AC和CB上的中點，

∴＝1，

如圖1，當α＝∠ACO＝45°時，即∠ACO＝∠CDE＝45°，

∴AC∥DE，

此時點E的坐標為(1，)，

如圖2，當α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°時，

即∠ACO＝∠CD′E′＝45°，

∴AC∥D′E′，

此時點E的坐標為(﹣1，).