Question

如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．
（1）求證：

AH

AD

=

EF

BC

；
（2）設EF=x，矩形EFPQ的面積為y，求y與x函數關系式，并求y的最大值；
（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動（當點Q與點C重合時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）可以證明△AEF∽△ABC，根據相似三角形的對應高的比相等即可證得；
（2）根據矩形的面積公式，可以把面積表示成關于EF的長的函數，根據函數的性質即可求解；
（3）分0≤t＜4，4≤t＜5，5≤t≤9三種情況進行討論，分別求得函數的解析式．

解答：證明：（1）∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ．（1分）
∴△AEF∽△ABC．（2分）
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF．（3分）
∴

AH

AD

=

EF

BC

．（4分）

（2）由（1）得

AH

AD

=

EF

BC

，
∵BC=10，AD=8，EF=x，
∴

AH

8

=

x

10

．
∴AH=

4

5

x．（5分）
∴EQ=HD=AD-AH=8-

4

5

x．（6分）
∴y=EF×EQ=x（8-

4

5

x）=-

4

5

x2+8x=-

4

5

(x-5)2+20．（8分）
∵a=-

4

5

＜0，
∴當x=5時，y的最大值為20．（9分）

（3）S=

- 1 2 t2+20  (0≤t＜4). -4t+28    (4≤t＜5). 1 2 (9-t)2    (5≤t≤9).

（12分）
附：第（3）小題詳解：由（2）得EF=5，EQ=4．
∵∠C=45°，
∴△PFC為等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9．
分三種情況討論：
1如圖1，當0≤t＜4時，設EF、PF分別交AC于點M、N，
則△MFN為等腰直角三角形．
∴FN=MF=t．
∴S=S矩形EFPQ-S△MFN=20-

1

2

t2=-

1

2

t2+20；

②如圖2，4≤t＜5時，則ME=5-t，QC=9-t，
∴S=S梯形EMCQ=

1

2

[(5-t)+(9-t)]×4=-4t+28；
③如圖3，5≤t≤9時，設EQ與AC交于點K，
則KQ=QC=9-t．
∴S=S△KQC=

1

2

(9-t)2．
綜上所述，S與t的函數關系式為：
S=

- 1 2 t2+20  (0≤t＜4). -4t+28    (4≤t＜5). 1 2 (9-t)2    (5≤t≤9).

點評：本題主要考查了相似三角形的性質與二次函數的應用，分情況進行討論是關鍵．