Question

【題目】如圖放置的兩個正方形，大正方形ABCD邊長為a，小正方形CEFG邊長為b（a＞b），M在BC邊上，且BM=b，連接AM，MF，MF交CG于點P，將△ABM繞點A旋轉至△ADN，將△MEF繞點F旋轉至△NGF，給出以下五個結論：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣ ；③△ABM≌△NGF；④S四邊形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四點共圓，其中正確的個數是（ ）

A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴∠BAM+∠DAM=90°，
∵將△ABM繞點A旋轉至△ADN，
∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，
∴∠DAM=∠AND，故①正確；②∵四邊形CEFG是正方形，
∴PC∥EF，
∴△MPC∽△EMF，
∴ ，
∵大正方形ABCD邊長為a，小正方形CEFG邊長為b（a＞b），BM=b，
∴EF=b，CM=a﹣b，ME=（a﹣b）+b=a，
∴ ，
∴CP=b﹣ ；故②正確；③∵將△MEF繞點F旋轉至△NGF，
∴GN=ME，
∵AB=a，ME=a，
∴AB=ME=NG，
在△ABM與△NGF中， ，
∴△ABM≌△NGF；故③正確；④

∵將△ABM繞點A旋轉至△ADN，
∴AM=AN，
∵將△MEF繞點F旋轉至△NGF，

∴NF=MF，
∵△ABM≌△NGF，
∴AM=NF，
∴四邊形AMFN是矩形，
∵∠BAM=∠NAD，
∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，
∴∠NAM=90°，
∴四邊形AMFN是正方形，
∵在Rt△ABM中，a2+b2=AM2 ，
∴S四邊形AMFN=AM2=a2+b2；故④正確；⑤∵四邊形AMFN是正方形，
∴∠AMP=90°，
∵∠ADP=90°，
∴∠ABP+∠ADP=180°，
∴A，M，P，D四點共圓，故⑤正確．
故選D．