Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，點A坐標為（1，0），以OA為邊在第一象限內作等邊△OAB，C為x軸正半軸上的一個動點（OC＞1），連接BC，以BC為邊在第一象限內作等邊△BCD，直線DA交y軸于E點．
（1）如圖，當C點在x軸上運動時，若設AC=x，請用x表示線段AD的長．
（2）隨著C點的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，請求出直線AE的解析式．
（3）以線段BC為直徑作圓，圓心為點F，當C點運動到何處時直線EF∥直線BO？這時⊙F和直線BO相切的位置關系如何？請給予說明．
（4）G為CD與⊙F的交點，H為直線DF上的一個動點，連接HG、HC，求HG+HC的最小值，并將此最小值用x表示．

Answer 1

分析：（1）由△OAB和△BCD都為等邊三角形，等邊三角形的邊長相等，且每一個內角都為60°，得到∠OBA=∠DBC，等號兩邊都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根據“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得到對應邊AD與OC相等，由OC表示出AD即可；
（2）隨著C點的變化，直線AE的位置不變．理由為：由（1）得到的兩三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，又等邊三角形BCD，得到∠BAO=60°，根據平角定義及對頂角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的長，根據tan60°的定義求出OE的長，確定出點E的坐標，設出直線AE的方程，把點A和E的坐標代入即可確定出解析式；
（3）由EA與OB平行，且EF也與OB平行，根據過直線外一點作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與EA重合，所以F為BC與AE的交點，又F為BC的中點，得到A為OC中點，由A的坐標即可求出C的坐標；相切，理由是由F為等邊三角形BC邊的中點，根據“三線合一”得到DF與BC垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證；
（4）根據等邊三角形的“三線合一”得到DF垂直平分BC，所以C與D關于DF對稱，所以GB為HC+HG的最小值，GB的求法是：由B，C及G三點在圓F圓周上，得到FB，FC及FG相等，利用一邊的中線等于這邊的一半得到三角形BCG為直角三角形，根據“三線合一”得到∠CBG為30°，利用cos30°和BC的長即可求出BG，而BC的長需要過B作BM垂直于x軸，根據等邊三角形的性質求出BM及AM，表示出CM，在直角三角形BMC中，根據勾股定理表示出BC的長即可．

解答：解：（1）∵△OAB和△BCD都為等邊三角形，
∴OB=AB，BC=BD，
∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABD，
∴△OBC≌△ABD，
∴AD=OC=1+x；

（2）隨著C點的變化，直線AE的位置不變．理由如下：
由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=1，
在直角三角形AOE中，tan60°=

OE

OA

，
則OE=

3

，點E坐標為（0，-

3

），A（1，0），
設直線AE解析式為y=kx+b，把E和A的坐標代入得：

k+b=0 b=- 3

，
解得：

k= 3 b=- 3

，
所以直線AE的解析式為y=

3

x-

3

；

（3）根據題意畫出圖形，如圖所示：
∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，
則EF與EA所在的直線重合，∴點F為DE與BC的交點，
又F為BC中點，∴A為OC中點，又AO=1，則OC=2，
∴當C的坐標為（2，0）時，EF∥OB；
這時直線BO與⊙F相切，理由如下：
∵△BCD為等邊三角形，F為BC中點，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，
故直線BO與⊙F相切；

（4）根據題意畫出圖形，如圖所示：
由點B，點C及點G在圓F的圓周上得：FB=FC=FG，即FG=

1

2

BC，
∴△CBG為直角三角形，又△BCD為等邊三角形，
∴BG為∠CBD的平分線，即∠CBG=30°，
過點B作x軸的垂直，交x軸于點M，由△OAB為等邊三角形，
∴M為OA中點，即MA=

1

2

，BM=

3

2

，MC=AC+AM=x+

1

2

，
在直角三角形BCM中，根據勾股定理得：
BC=

BM2+MC2

=

x2+x+1

，
∵DF垂直平分BC，∴B和C關于DF對稱，∴HC=HB，
則HC+HG=BG，此時BG最小，
在直角三角形BCG中，BG=BCcos30°=

1

2

3x2+3x+3

．

點評：此題綜合考查了等邊三角形的性質，直角三角形的性質，三角形全等的判定與性質以及對稱的有關知識．此題的難點是（3）和（4）小問，（3）重點要確定出點F的特殊位置即直線ED與BC的交點，把EF平行OB作為已知條件，推導點C的位置；（4）解題的關鍵是利用等邊三角形“三線合一”的性質找出C關于FD的對稱點為B，進而得到BG為所求的最小值．