Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點。

(1)求拋物線的解析式。

(2)點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N若點M的橫坐標為m，請用m的代數式表示MN的長。

(3)在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3．(2) ﹣m2+3m（0＜m＜3）．(3) 當m=時，△BNC的面積最大，最大值為．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求二次函數的解析式；
（2）先求直線BC的解析式，表示出M、N兩點的坐標，利用縱坐標的差計算MN的長即可；
（3）根據面積公式得：S△BNC=S△CMN+S△MNB=|MN||OB|，OB的長是定值為3，所以MN的最大值即為面積的最大值，求MN所表示的二次函數的最值即可．

解：(1) ∵拋物線經過點A(1,0),B(3,0),C(0,3)三點，

∴設拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x3)，

把C(0,3)代入得：3=a(0+1)(03)，

a=1，

∴拋物線的解析式：y＝－x2＋2x＋3

(2) 設直線BC的解析式為：y=kx+b，

把B(3,0),C(0,3)代入得： ，

解得：

，

∴直線BC的解析式為y＝－x＋3，

∴M(m，－m＋3)，

又∵MN⊥x軸，

∴N(m，－m2＋2m＋3)，

∴MN＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m(0＜m＜3)

(3)S△BNC＝S△CMN＋S△MNB＝|MN|·|OB|，

∴當|MN|最大時，△BNC的面積最大，

MN＝－m2＋3m＝－(m－)2＋，

所以當m＝時，△BNC的面積最大為××3＝