Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，D，E分別在AB，AC上，AD=AE，將△ADE繞點A逆時針任意旋轉.

（1）發現：如圖2，連結BD，CE，若∠BAC=60°，D點恰在線段BE上，則∠BEC= °；

（2）探究：如圖3，連結BD，CE，并交于點F，求證：∠BFC=∠BAC；

（3）拓展：如圖4，若∠BAC=90°，AB=5，AD=2，連結CD，BE，請直接寫出四邊形BCDE的最大面積.

Answer 1

【答案】（1）60；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）首先可知是等邊三角形，可得，根據鄰補角的定義得，又易證，由三角形全等的性質得，最后根據即可得；

（2）由定理可證，由三角形全等的性質得，如圖（見解析），設BD與AC的交點為點O，因，根據三角形內角和定理即得證；

（3）分析可知，要使四邊形BCDE的最大面積，也就是要使和的面積最大，如圖（見解析），過點E作，過點D作交CA延長線于點G，易證，由三角形全等的性質可得，從而可得和的面積相等，所以現在要求的是的最大面積，AC的長是定長，所以高GD要最大，可發現，當繞點A旋轉到時，GD取得最大值AD，此時四邊形BCDE由四個直角三角形組成，然后求其面積之和即可得出答案.

（1）由旋轉的性質得：

是等邊三角形

又

又

故答案為：60；

（2）如圖，設BD與AC的交點為點O

由旋轉的性質得：

又

，即

在中，由三角形內角和定理得：

在中，由三角形內角和定理得：

即；

（3）如圖，過點E作，過點D作交CA延長線于點G

（旋轉的性質）

又

由題意可知，要使四邊形BCDE的最大面積，也就是要使和的面積最大

因此只要的面積最大即可

又因AC的長是定長，所以高GD要最大

當繞點A旋轉到時，GD取得最大值AD

此時四邊形BCDE由四個直角三角形組成

故四邊形BCDE的最大面積為：

.