Question

【題目】如圖，在△OAB中，OA=OB，以點O為圓心的⊙O經過AB的中點C，直線AO與⊙O相交于點E、D，OB交⊙O于點F，P是 的中點，連接CE、CF、BP．
（1）求證：AB是⊙O的切線．
（2）若OA=4，則 ①當 長為時，四邊形OECF是菱形；
②當 長為時，四邊形OCBP是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABO中，OA=OB，C是AB的中點，

∴OC⊥AB．

∵OC為⊙O的半徑，

∴AB是⊙O的切線．

（2）；
【解析】（2）①∵OECF為菱形， ∴OE=EC，∠EOC=∠COF．
∴OE=EC=OC．
∴∠EOC=∠COF=60°．
∴∠DOF=60°．
又∵P為弧DF的中點，
∴∠DOP=30°．
∵∠AOC=60°，∠OCA=90°，
∴OC= OA=2．
∴弧DP的長= = ．
②∵四邊形OCBP為正方形，
∴∠COB=∠POB=45°．
∴OC= OB=2 ．
∵P為弧DF的中點，
∴∠DOP=45°．
∴弧DP的長= = ．
所以答案是：① ；② ．
（1）由等腰三角形三線合一的性質可知OC⊥AB，依據題意可知OC為⊙O的半徑，故此可證明AB是⊙O的切線；（2）①由菱形的性質可知：OE=EC，∠EOC=∠COF，然后證明△OEC為等邊三角形可得到∠EOC的度數，然后可求得∠DOP的度數，接下來，在△OAC中，利用特殊銳角三角函數值可求得OC的長，最后依據弧長公式求解即可；②依據正方形的性質可求得OC= ，∠POF=45°，然后可得到∠DOP的度數，最后依據弧長公式求解即可．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和正方形的判定方法的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能正確解答此題．