Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；
（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由于拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），可設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），

將C點坐標（0，﹣3）代入，得：

a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得 a=1，

則y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，

所以拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3

（2）

解：過點P作x軸的垂線，交AC于點N．

設直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得

，解得 ，

∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣3．

設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），則點N的坐標為（x，﹣x﹣3），

∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴S= PNOA

= ×3（﹣x2﹣3x）

=﹣ （x+ ）2+ ，

∴當x=﹣ 時，S有最大值 ，此時點P的坐標為（﹣ ，﹣ ）

（3）

解：在y軸上是存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：

∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，

∴頂點D的坐標為（﹣1，﹣4），

∵A（﹣3，0），

∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．

設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：

①當A為直角頂點時，如圖3①，

由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，

解得t= ，

所以點M的坐標為（0， ）；

②當D為直角頂點時，如圖3②，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，

解得t=﹣ ，

所以點M的坐標為（0，﹣ ）；

③當M為直角頂點時，如圖3③，

由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，

解得t=﹣1或﹣3，

所以點M的坐標為（0，﹣1）或（0，﹣3）；

綜可知，在y軸上存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時點M的坐標為（0， ）或（0，﹣ ）或（0，﹣1）或（0，﹣3）

【解析】（1）已知拋物線上的三點坐標，利用待定系數法可求出該二次函數的解析式；（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N，先運用待定系數法求出直線AC的解析式，設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），根據AC的解析式表示出點N的坐標，再根據S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面積，運用頂點式就可以求出結論；（3）分三種情況進行討論：①以A為直角頂點；②以D為直角頂點；③以M為直角頂點；設點M的坐標為（0，t），根據勾股定理列出方程，求出t的值即可．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．