Question

【題目】拋物線與直線交于兩點，且兩點之間的拋物線上總有兩個縱坐標相等的點．

（1）求證：；

（2）過作軸的垂線，交直線于，，且當，，三點共線時，軸．

①求的值：

②對于每個給定的實數，以為直徑的圓與直線總有公共點，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②．

【解析】

（1）先聯立，消去得，法一：根據題意可得出，從而有，即可得出結果；法二：設這兩個縱坐標相等的點的橫坐標為，，則，則，得出，從而有，即，同法一可得出結果；

（2）①設，，根據根與系數的關系可得，，由，均與軸平行，得出，，由，，三點共線，有，得出，即可求出x1，x2，再根據軸，得出，將x1，x2代入可求出a的值；②設以為直徑的圓與直線的公共點為，連接AP，BP，則，過點A作AM垂直直線y=m于點M，過點B作BN垂直y=m于點N，構造一線三等角，可得：△AMP∽△PNB，得出，即，整理得，將x1+x2，x1x2代入，然后整理成關于的方程，由可得出，根據題意可得上述不等式對于任意的實數恒成，轉化為二次函數圖象開口向上，且與軸至多只有一個交點，據此列出關于m的不等式組，解出m即可．

（1）證明：法一：聯立，消去得，

拋物線的對稱軸為軸，則這兩個縱坐標相等的點關于軸對稱，

∴，∴，∴；

法二：設這兩個縱坐標相等的點的橫坐標為，，

則，∴．

∵，，∴，∴，∴．

∴，∴．

（2）解：①設，，

則由（1）知，是方程的兩根，

∴，，

又∵，均與軸平行，

∴，，

又∵，，三點共線，∴，

∴，∴，

∴，，

又∵軸，∴，

∴，即，解得或．

∵，∴．

②設以為直徑的圓與直線的公共點為，連接AP，BP，則，

過點A作AM垂直直線y=m于點M，過點B作BN垂直y=m于點N，構造一線三等角，可得：

△AMP∽△PNB，∴，∴，

∴，

又由①得，，

∴，

將上述方程整理成關于的方程：…（*），

∵方程（*）有實數根，

∴，∴，

整理得，

對于每個給定的實數，以為直徑的圓與直線總有公共點，即總有點存在，

∴上述不等式對于任意的實數恒成．

當，即時，上述不等式為：，舍去；

當時，欲使上述不等式恒成立，

則二次函數圖象開口向上，且與軸至多只有一個交點，

∴，解得：．

∴的范圍為．