Question

【題目】如圖1，在中，，，，于，點是線段上一動點，點與點在直線兩側，，，點在邊上，，連接，，．

（1）依題意，補全圖形；

（2）求證：；

（3）請在圖2中畫出圖形，確定點的位置，使得有最小值，并直接寫出的最小值為________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析，的最小值為10．

【解析】

（1）根據題目要求作圖即可；

（2）根據等腰三角形的性質和垂直的定義求出∠MAD＝∠C，利用SAS證明△AMD≌△CEB即可得出結論；

（3）根據，判斷出當B、M、D三點共線時，的值最小，BD的長即為的最小值，作出圖形，然后根據勾股定理求出BD即可．

解：（1）補全圖形，如圖1所示：

（2）∵AD⊥AB，

∴∠MAD＋∠BAN＝90°，

∵AB＝AC，AN⊥BC，

∴∠BAN＝∠CAN，∠CAN＋∠C＝90°，

∴∠MAD＝∠C，

又∵AD＝BC，AM＝CE，

∴△AMD≌△CEB（SAS），

∴；

（3）點M位置如圖2所示；

由（2）可知：△AMD≌△CEB，

∴MD＝BE，AD＝BC＝6，

∴，

∵，

∴當B、M、D三點共線時，的值最小，BD的長即為的最小值，

∵∠BAD＝90°，

∴，

即的最小值為10．