Question

【題目】九年級學生小剛是一個喜歡看書的好學生，他在學習完第二十四章圓后，在家里突然看到爸爸的初中數學書上居然還有一個相交弦定理（圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），非常好奇，仔細閱讀原來就是：PAPB=PCPD，小剛很想知道是如何證明的，可異證明部分污損看不清了，只看到輔助線的做法，分別連結AC、BD．聰明的你一定能幫他證出，請在圖1中做出輔助線，并寫出詳細的證明過程．

小剛又看到一道課后習題，如圖2，AB是⊙O弦，P是AB上一點，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半徑，愁壞了小剛，樂于助人的你肯定會幫助他，請寫出詳細的證明過程．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑R為7．

【解析】

（1）連結AC，BD，根據圓周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根據三角形相似的判定定理得到△APC∽△DPB，利用相似三角形的性質得AP：DP=CP：BP，變形有APBP=CPDP；由此得到相交弦定理；
（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根據相交弦定理得到PAPB=PCPD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值．

（1）圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．

已知，如圖1，⊙O的兩弦AB、CD相交于E，

求證：APBP=CPDP．

證明如下：

連結AC，BD，如圖1，

∵∠C=∠B，∠A=∠D，

∴△APC∽△DPB，

∴AP：DP=CP：BP，

∴APBP=CPDP；

所以兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．

（2）過P作直徑CD，如圖2，

∵AB=10，PA=4，OP=5，

∴PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5，

由（1）中結論得，PAPB=PCPD，

∴4×6=（R﹣5）×（R+5），

解得R=7（R=﹣7舍去）．

所以⊙O的半徑R=7．