Question

【題目】在直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C連接AC，BC．

（1）求∠ACO的正弦值．

（2）如圖1，D為第一象限內拋物線上一點，記點D橫坐標為m，作DE∥AC交BC于點E，DH∥y軸交于BC于點H，請用含m的代數式表示線段DE的長，并求出當CH：BH=2：1時線段DE的長．

（3）如圖2，P為x軸上一動點（P不與點A、B重合），作PM∥BC交直線AC于點M，連接CP，是否存在點P使S△CPM=2？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．（3）P（1，0）、（2+1，0）、（1﹣2，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線解析式求出點A、C坐標，求出線段OA、AC長度，即可求出∠ACO的正弦值；

（2）首先設出點D坐標，寫出點H坐標，利用相似三角形比例關系可求出線段DE的長，根據CH：BH=2：1，求出線段DE的長；

（3）設出點P坐標，寫出直線PM解析式，表示出點M、及與y軸交點坐標，利用三角形面積求出點P坐標．

解（1）令x=0，y=4，

∴C（0，4），OC=4，

令y=0，x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），OA=1，

∴AC==，

Sin∠ACO===．

（2）如圖1，

∵DE∥AC，

∴∠1+∠2=∠3=∠4+∠5，

∵DH∥y軸，

∴∠2=∠4，

∴∠1=∠5，

∴OA：OC=EM：DM，

過點E作EM⊥DH，垂足為M，

設點D（m，﹣m2+m+4），

直線BC：y=﹣x+4，

∴H（m，﹣m+4），

∴DH=﹣m2+4m，

設EM=x，則DM=4x，

∠MEH=∠B，

∴HM=x，DH=x+4x=x，

∴x=，

∴DE=x==（﹣m2+4m）=﹣m2+m，

當CH：BH=2：1時，

延長DH至點K，則OK：KB=2：1，

OK=2，

∴m=2．

∴DE=﹣+=．

（3）P（1，0）、（2+1，0）、（1﹣2，0）．

直線BC解析式為：y=﹣x+4，

直線AC解析式為：y=4x+4，

∵作PM∥BC交直線AC于點M，

∴設PM直線解析式為y=﹣x+b，

∴P（，0）

聯立直線AC，求得M（，），

當點P在線段AB上時，如圖：

∴S△CPM=×CN×（﹣）=2

∴×（4﹣b）×（﹣）=2

解得：b=，

∴P（1，0）；

當點P在線段AB上，

連接CP，是否存在點P使S△CPM=2

當點P在線段AB延長線上時，如圖：

同理：P（，0），M（，），

做CQ⊥y軸，Q（，4）

∴S△CPM=×CQ×=2

解得：b=，

∴P（2+1，0）．

當點P在線段BA延長線上時，如圖：

同理：P（，0），M（，），

∴S△CPM=×PA×（4﹣）=2

解得：b=，

∴P（1﹣2，0）．

綜上所述：P（1，0）、（2+1，0）、（1﹣2，0）．