Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOBC的邊長為AO=6，AC=8，
（1）如圖①，E是OB的中點，將△AOE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形AOBC內部，延長AF交BC于點G．求點G的坐標；

（2）定義：若以不在同一直線上的三點中的一點為圓心的圓恰好過另外兩個點，這樣的圓叫做黃金圓．如圖②，動點P以每秒2個單位的速度由點C向點A沿線段CA運動，同時點Q以每秒4個單位的速度由點O向點C沿線段OC運動；求：當 PQC三點恰好構成黃金圓時點P的坐標．

Answer 1

（1）(8，)；（2），，． 

試題分析：（1）由折疊對稱的性質可得DAOE≌DAFE，從而推出DEFG≌DEBG，得到DAOE∽DAEG，因此AE²=AO×AG，在Rt△AOE中，由勾股定理可得AE²=36+16=52，從而得AG=，在Rt△ABM中，由勾股定理可得CG=，從而BG=，得到G的坐標為(8，)；（2）分點C為黃金圓的圓心，點P為黃金圓的圓心，點Q為黃金圓的圓心三種情況討論即可.
試題解析：（1）如圖，連接EG，
由題意得：DAOE≌DAFE，∴ÐEFG=ÐOBC=90⁰.
又∵E是OB的中點，∴EG=EG，EF=EB=4．∴DEFG≌DEBG．
∴ÐFEG=ÐBEG，ÐAOB=ÐAEG=90⁰. ∴DAOE∽DAEG，AE²=AO×AG.
又在Rt△AOE中，∵AO=6，OE=4，∴AE²=36+16=52.
∴52=6×AG，AG=.
在Rt△ABM中，由勾股定理可得CG=，∴BG=．
∴G的坐標為(8，) .

（2）設運動的時間為t秒，
當點C為黃金圓的圓心時，則CQ=CP，
即：2t=10—4t，得到t=，此時CP=，AP=，P點坐標為．
當點P為黃金圓的圓心時，則PC=PQ，
如圖①，過點Q作AC的垂線交AC于點E，CQ=10—4t，CP=2t．
由三角形相似可知：EQ=CQ=，PE=，
則，化簡得：，
解得 (舍去)．
此時，AP=，P點坐標為．
當點Q為黃金圓的圓心時，則QC=PQ，
如圖②，過點Q作AC的垂線交AC于點F，CQ=10—4t，CP=2t.
由三角形相似可知：QF=，PF=，
則 ，整理得．
解得 (舍去)．
此時，AP=，P點坐標為．
綜上所述，P點坐標為，，．