Question

【題目】如圖，四邊形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，點O為BD的中點，且OA平分∠BAC．

（1）求證：OC平分∠ACD；

（2）求證：OA⊥OC．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）過點O作OE⊥AC于E，根據角平分線的性質可得OB＝OE，求出OE＝OD，然后根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明即可；

（2）利用“HL”證明△ABO和△AEO全等，可得∠AOB＝∠AOE，同理∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根據垂直的定義即可證明．

證明：（1）過點O作OE⊥AC于E，

∵∠ABD＝90°，OA平分∠BAC，

∴OB＝OE，

∵點O為BD的中點，

∴OB＝OD，

∴OE＝OD，

∵∠D＝90°，

∴OD⊥CD，

∴OC平分∠ACD；

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，

，

∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），

∴∠AOB＝∠AOE，

同理得：∠COD＝∠COE，

∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，

∴OA⊥OC．