Question

如圖，在△OA₁B₁中，∠OA₁B₁=90°，OA₁=A₁B₁=1．以O為圓心，OA₁為半徑作扇形OA₁B₂，

A1B2

與OB₁相交于點B₂，設△OA₁B₁與扇形OA₁B₂之間的陰影部分的面積為S₁；然后過點B₂作B₂A₂⊥OA₁于點A₂，又以O為圓心，OA₂為半徑作扇形OA₂B₃，

A2B3

與OB₁相交于點B₃，設△OA₂B₂與扇形OA₂B₃之間的陰影部分面積為S₂；
按此規律繼續操作，設△OA_nB_n與扇形OA_nB_n+1之間的陰影部分面積為S_n．
則S₁=______；S_n=______．

Answer 1

如圖，∵在△OA₁B₁中，∠OA₁B₁=90°，OA₁=A₁B₁=1．
∴∠B₁OA₁=45°．
以O為圓心，OA₁為半徑作扇形OA₁B₂，得到S₁=S_△OA1B1-S_扇形OA1B2=

1

2

-

45π×1

360

=

1

2

-

π

8

；
在直角△OA₂B₂中，OB₂=1，則OA₂=

2

2

，得到S₂=S_△OA2B2-S_扇形OA2B3=

1

4

-

45π×( 2 2 )2

360

=

1

4

-

π

16

；
依此類推得到S_n=

1

2n

-

π

2n+2

．
故答案是：

1

2

-

π

8

；

1

2n

-

π

2n+2

．