Question

閱讀材料：
如圖（1），在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為點P．求證：S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD；
證明：∵AC⊥BD，
∴

S△ACD= 1 2 AC•PD S△ABC= 1 2 AC•BP

∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ACB=

1

2

AC•PD+

1

2

AC•BP
=

1

2

AC（PD+PB）=

1

2

AC•BD
解答問題：
（1）上述證明得到的性質可敘述為

 

（2）已知：如圖（2），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且相交于點P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性質求梯形的面積．
（3）如圖（3），用一塊面積為800cm²的等腰梯形彩紙做風箏，并用兩根竹條作梯形的對角線固定風箏，對角線恰好互相垂直，問竹條的長是多少？

Answer 1

分析：（1）只要把圖形符號轉化成語言表達即可．
（2）作輔助線在BC的延長線上取一點E，使DE∥AC．從D點作DF⊥BE，先求出梯形的高，再利用勾股定理求出對角線的長，即可求出面積．
（3）利用梯形的面積公式即可求出對角線的長．即是竹條的長．

解答：解：（1）敘述：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．

（2）在BC的延長線上取一點E，使DE∥AC，從D點作DF⊥BE，
∵梯形是等腰梯形，
∴BD=AC=DE，
∵AC⊥BD，
∴∠DBC+∠ACB=90°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DEB=90°
利用直角三角形斜邊上的中線的性質可知DF=BF=EF=5，
由勾股定理可知，DE=5

2

，
∴S_梯形=S_△BDE=

1

2

DE•DB=5

2

×5

2

÷2=25cm²．

（3）∵ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴S_梯形ABCD=

1

2

AC•BD=

1

2

AC²=800，
∴AC=BD=40cm；
答：竹條的長是40cm．

點評：本大題分為三個小題，從簡到難，第一小題先由題中的證明得出公式，第二小題則讓你利用公式計算面積，第三小題則是利用公式求對角線，難點就在第二小題中，而且添輔助線是關鍵．