Question

閱讀材料：
如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高（h）”．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S△ABC=

1

2

ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
解答下列問題：
如圖2，拋物線頂點坐標為點C（-1，-4），交x軸于點A（-3，0），交y軸于點B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）點P是拋物線（在第三象限內）上的一個動點，連接PA，PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
（3）是否存在一點P，使S_△PAB=S_△CAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可設出拋物線頂點解析式，代入A點的坐標，即可得出拋物線的解析式；利用拋物線的解析式，得出B點的坐標，結合A點的坐標，即可得出直線AB的解析式；
（2）當P運動到C點時，此時鉛直高為點C縱坐標；又可得出AB的距離，即可得出△CAB的面積；
（3）假設存在這樣的點P 橫坐標為x，鉛直高為H，結合題意，可用含x的代數式表示出，利用條件S_△PAB=S_△CAB，即可得出x的值，代入可得出P的縱坐標，并適當取舍．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y₁=a（x+1）²-4．
把A（-3，0）代入解析式，解得a=1．
∴拋物線的表達式為y₁=（x+1）²-4=x²+2x-3；
∴B點的坐標為（0，-3）．（3分）
設直線AB的表達式為y₂=kx+b．
把A（-3，0），B（0，-3）待入，得

-3k+b=o b=-3

解得k=-1，b=-3．
∴直線AB的表達式為y₂=-x-3．（4分）

（2）因為點C坐標為（-1，-4），
∴當x=-1時，y₁=-4，y₂=-2．
∴CD=-2-（-4）=2．（5分）
S△ABC=

1

2

OA•CD=

1

2

×3×2=3．（6分）

（3）假設存在符合條件的點P，設P點的橫坐標為x（-3＜x＜0），
△PAB的鉛垂高為H．則H=y₂-y₁=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x．（7分）
由S_△PAB=S_△CAB，得

1

2

×3×(-x2-3x)=3．
化簡得：x²+3x+2=0．解得x₁=-2，x₂=-1．（9分）
將x=-2代入y₁=x²+2x-3 中，解得P點坐標為（-2，-3）．
將x=-1代入y₁=x²+2x-3 中，P點坐標為（-1，-4）與頂點C重合．
所以還存在點P（-2，-3），滿足條件．（12分）

點評：本題主要考查了二次函數和一次函數的綜合應用，以及三角形面積等知識點，有一定的綜合性和難度，學生在做題目時要認真分析和理解題目所給條件，即可完成題目．