Question

如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B. 已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）.

（1）求實數a，b，k的值；

（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標.  （其中點E和點A，點C和點B分別是對應點）

 

Answer 1

【答案】

（1）k=4，，（2）（8，），或（2，）

【解析】解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4. …………1分

 故雙曲線的函數表達式為.…………2分

設點B（t，），，AB所在直線的函數表達式為，

則有    解得，.…………3分

于是，直線AB與y軸的交點坐標為，…………4分

故，整理得，…………5分

解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標為（，）．…………6分

因為點A，B都在拋物線（a0）上，

所以 解得   …………7分

（2）如圖，

因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.

設拋物線（a0）與x軸負半軸相交于點D， 則點D的坐標為（，0）.

因為∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.…………9分

（i）將△繞點O順時針旋轉，得到△.這時，點(，2)是CO的中點，點的坐標為（4，）.

延長到點，使得=，

這時點（8，）是符合條件的點. …………12分

（ii）作△關于x軸的對稱圖形△，得到點（1，）；延長到點，使得＝，這時點E_２（2，）是符合條件的點．

所以，點的坐標是（8，），或（2，）.         …………14分

思考：如果不寫對應，是否還有點？

（1）把點A的坐標代入可求得k的值，根據△AOB的面積求得點B坐標，把點A，B的坐標代入，可求得a，b，的值；

（2）分兩種情況（i）將△繞點O順時針旋轉，得到△，（ii）作△關于x軸的對稱圖形△，進行解答