Question

【題目】已知頂點為A（2，﹣1）的拋物線與y軸交于點B，與x軸交于C、D兩點，點C坐標（1，0）；

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）連接AB、BD、DA，求的大小；

（3）點P在x軸正半軸上位于點D的右側，如果∠APB=45°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3 （2） （3）點P（3+，0）．

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x-2）2-1,將點C的坐標代入可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；

（2）先求得點B、C、D的坐標，由點A、B、D的坐標可得到∠BDO=∠ADO=45°，從而可證明△ABD為直角三角形，然后依據兩點間的距離公式可求得AB和BD的長，最后依據余弦定理的定義求解即可；

（3）先證明△ADP∽△PDB，依據相似三角形的性質可得到DP2=BD×AD，從而可求得DP的長，故此可得到點P的坐標.

解：（1）∵頂點為A（2，﹣1）的拋物線經過點C（1，0），

∴可以假設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，

把（1，0）代入可得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，

∴C（1，0），D（3，0），令x=0，y=3,

∴B（0,3）∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，

∵A（2，﹣1），D（3，0），

∴∠ADO=45°，∴∠BDA=90°，∴·

（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD，

∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB∽△ADP，∴PD2=BDAD=3×=6，

∴PD=，∴OP=3+，∴點P（3+，0）．

“點睛”本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式、銳角三角函數的定義、學生三角形的性質和判斷，證得△ABD為直角三角形是解答問題（2）的關鍵；證得△ADP∽△PDB是解答問題（3）的關鍵.