Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AD與BC是⊙O的直徑，延長線段AC至點G，使AG＝AD，連接DG交⊙O于點E，EF∥AB交AG于點F．

（1）求證：EF與⊙O相切．

（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S扇形OAC＝.

【解析】

（1）連接OE，由條件知∠D＝∠OED，證出∠OED＝∠G，可得OE∥AG，證明∠OEF＝180°∠AFE＝90°，即OE⊥EF，則EF與⊙O相切．
（2）連接OE，過點O作OH⊥AC于點H，求出CH，OH的長，再求出OC的長，得出△AOC是等邊三角形，則∠AOC＝60°，可求出扇形OAC的面積．

（1）證明：如圖1，連接OE，

∵OD＝OE，

∴∠D＝∠OED，

∵AD＝AG，

∴∠D＝∠G，

∴∠OED＝∠G，

∴OE∥AG，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

∵EF∥AB，

∴∠BAF+∠AFE＝180°，

∴∠AFE＝90°，

∵OE∥AG，

∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，

∴OE⊥EF，

∴EF與⊙O相切；

（2）解：如圖2，連接OE，過點O作OH⊥AC于點H，

∵AC＝4，

∴CH＝，

∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，

∴四邊形OEFH是矩形，

∴，

在Rt△OHC中，

OC＝＝＝4，

∵OA＝AC＝OC＝4，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠AOC＝60°，

∴S扇形OAC＝＝．